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Metodi di risoluzione di un problema di geometria

Il metodo di risoluzione di un problema geometrico può essere:

sintetico (euclideo)
trigonometrico
algebrico

Le principali tecniche utilizzate nel metodo algebrico sono

geometria analitica (piano cartesiano)
vettori
numeri complessi
coordinate baricentriche
geometria proiettiva

Tutti questi metodi possono convivere in una soluzione.

Esponiamo alcuni esempi di problemi risolti mediante l’uso dei vettori.

Problema 1. (IMO 2008) Sia $\triangle ABC$ un triangolo acutangolo con ortocentro $H$ . La circonferenza con centro il punto medio di $BC$ e passante per $H$ interseca la retta $BC$ in $A_1$ e $A_2$ . Analogamente, la circonferenza con centro il punto medio di $CA$ e passante per $H$ interseca la retta $CA$ in $B_1$ e $B_2$ , e la circonferenza con centro il punto medio di $AB$ e passante per $H$ interseca la retta $AB$ in $C_1$ e $C_2$ . Dimostrare che $A_1$ , $A_2$ , $B_1$ , $B_2$ , $C_1$ , $C_2$ giacciono su una medesima circonferenza.

Soluzione.

Problema 2. (Stage Senior 2008) Dato un quadrilatero $ABCD$ ed un punto $M$ del suo piano dimostrare che i simmetrici di $M$ rispetto ai punti medi dei lati sono vertici di un parallelogramma.

Soluzione.

Problema 3. (Stage Senior 2008) Siano $E$ , $F$ , $G$ , $H$ i punti medi dei lati del quadrilatero $ABCD$ , sia $P=FH\cap EG$ , sia $T$ il punto medio di $AC$ e sia $S$ il punto medio di $BD$ . Dimostrare che $P$ è il punto medio di $TS$ .

Soluzione.

Problema 4. Siano $ABFG$ , $ACDE$ i quadrati costruiti esternamente ai lati $AB$ , $AC$ del triangolo $\triangle ABC$ . Dimostrare che $EB \bot CG$ .

Soluzione.

Problema 5. Prova che se in un quadrilatero convesso $ABCD$ vale l’uguaglianza

$AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$

allora $AC$ e $BD$ sono perpendicolari.

Problema 6. Costruiamo dei quadrati esternamente ai lati $AC$ , $BC$ di un triangolo $ABC$ . Indichiamo con $K$ , $L$ i centri di questi quadrati e con $D$ il punto medio di $AB$ . Dimostratre che $KDL$ è un triangolo rettangolo isoscele.

Problema 7. Siano $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ , $A_4$ punti distinti di una circonferenza. Sia $W_i$ il cerchio di Feuerbach del triangolo $A_jA_kA_\ell$ dove $\{i,j,k,\ell \}=\{1,2,3,4\}$ . Dimostrare che tutti questi cerchi hanno un punto in comune.